2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 5회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 5회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

반지름이 \(1\)인 원의 중심 \(O\)에서 현 \(PQ\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 중심각이 \(t\)이므로 직각삼각형에서

\[f(t) = 2\overline{QH} = 2\sin\frac{t}{2}\]

도형의 넓이 \(g(t)\)는 부채꼴 \(OPQ\)의 넓이에서 삼각형 \(OPQ\)의 넓이를 뺀 것이므로

\[g(t) = \frac{1}{2} \times 1^2 \times t - \frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin t = \frac{1}{2}(t - \sin t)\]

따라서 구하는 극한값은 다음과 같다:

\[\lim_{t \to 0^+} \frac{g(t)}{f(t)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}(t-\sin t)}{2\sin\frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2} \times \frac{\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \times \left(1 - \frac{\sin t}{t}\right) = \frac{1}{2} \times 1 \times (1-1) = \mathbf{0}\]

답: \(0\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

[문항 1-1]에서 구한 현의 길이 공식에 의해 \(\overline{P_0 P_k} = f\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\) \((k=1, 2, \dots, n-1)\)이다.

\(f(2\pi) = 2\sin\pi = 0\)이므로 무한급수를 정적분으로 변환하면:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n-1} \overline{P_0 P_k}}{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\frac{1}{n} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \, dt\]

\(f(t) = 2\sin\frac{t}{2}\)이므로 적분을 계산하면

\[\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} 2\sin\frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{\pi} \left[ -2\cos\frac{t}{2} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{\pi} (2 - (-2)) = \mathbf{\frac{4}{\pi}}\]

답: \(\frac{4}{\pi}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 5회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(S_k = g\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\)이고 \(g(2\pi) = \pi\)이므로, 무한급수를 정적분으로 변환하면 다음과 같다:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n-1} S_k^2}{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(g\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (g(t))^2 \, dt\]

\(g(t) = \frac{1}{2}(t - \sin t)\)이므로 피적분함수의 제곱을 전개하면

\[\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{4}(t-\sin t)^2 \, dt = \frac{1}{8\pi} \int_0^{2\pi} (t^2 - 2t\sin t + \sin^2 t) \, dt\]

부분적분법에 의해 \(\int_0^{2\pi} t^2 dt = \frac{8\pi^3}{3}\), \(\int_0^{2\pi} -2t\sin t dt = 4\pi\), \(\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \pi\)이므로

\[\frac{1}{8\pi} \left( \frac{8\pi^3}{3} + 4\pi + \pi \right) = \frac{1}{8\pi} \left( \frac{8\pi^3}{3} + 5\pi \right) = \mathbf{\frac{\pi^2}{3} + \frac{5}{8}}\]

답: \(\frac{\pi^2}{3} + \frac{5}{8}\)

[문제 1] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
1-1	현의 길이 \(f(t)=2\sin(t/2)\)와 활꼴의 넓이 \(g(t)=\frac{1}{2}(t-\sin t)\)를 올바르게 구하였는가?	20점
1-1	삼각함수의 극한 성질을 적용하여 극한값 \(0\)을 정확히 도출하였는가?	10점
1-2	급수의 합을 정적분 \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)dt\)로 바르게 변환하였는가?	20점
1-2	삼각함수의 적분을 정확히 계산하여 극한값 \(\frac{4}{\pi}\)를 구하였는가?	10점
1-3	넓이의 제곱의 합을 정적분 \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} (g(t))^2 dt\)로 올바르게 변환하였는가?	20점
1-3	부분적분법을 적용하여 정적분 값 \(\frac{\pi^2}{3} + \frac{5}{8}\)을 완벽히 계산하였는가?	20점

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 5회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

확률변수 \(X\)를 우승팀이 결정될 때까지 실시한 시합 횟수라 하면 \(X\)는 \(3, 4, 5\)의 값을 갖는다.

∙ \(X = 3\)인 경우: AAA 또는 BBB \(\implies P(X=3) = p^3 + (1-p)^3\)
∙ \(X = 4\)인 경우: 3차전까지 2승 1패 후 4차전 승리 \(\implies P(X=4) = {}_3C_2 p^2(1-p)p + {}_3C_2 p(1-p)^2(1-p) = 3p^3(1-p) + 3p(1-p)^3\)
∙ \(X = 5\)인 경우: 4차전까지 2승 2패 후 5차전 승리 \(\implies P(X=5) = {}_4C_2 p^2(1-p)^2 p + {}_4C_2 p^2(1-p)^2(1-p) = 6p^2(1-p)^2\)

기댓값의 정의에 따라 계산하면 다음과 같다:

\[E(X) = 3[p^3 + (1-p)^3] + 4[3p^3(1-p) + 3p(1-p)^3] + 5[6p^2(1-p)^2]\]

\[E(X) = \mathbf{6p^4 - 12p^3 + 3p^2 + 3p + 3}\]

답: \(6p^4 - 12p^3 + 3p^2 + 3p + 3\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

장축 6, 단축 4인 타원을 좌표평면에 두면 방정식은 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)이다.

기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{9m^2+4}\)이고, 이에 수직인 접선의 방정식은 \(y = -\frac{1}{m}x \pm \sqrt{\frac{9}{m^2}+4}\)이다.

평행한 두 접선 사이의 거리를 각각 \(a, b\)라 하면:

\[a = \frac{2\sqrt{9m^2+4}}{\sqrt{m^2+1}}, \quad b = \frac{2\sqrt{9+4m^2}}{\sqrt{m^2+1}}\]

두 식의 제곱의 합은 \(a^2 + b^2 = \frac{4(9m^2+4+9+4m^2)}{m^2+1} = \frac{4(13m^2+13)}{m^2+1} = 52\)로 \(m\)에 관계없이 항상 일정하다.

직사각형의 한 변의 길이가 \(2\sqrt{5}\)이므로 \(a^2 = 20\)이라 하면 \(b^2 = 52 - 20 = 32 \implies b = 4\sqrt{2}\)이다.

따라서 직사각형의 넓이는 \(ab = 2\sqrt{5} \times 4\sqrt{2} = \mathbf{8\sqrt{10}}\)이다. 답: \(8\sqrt{10}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후1) 모의고사 5회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 모의고사 5회 [2022학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

\(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하자. 구간 \([-a, a]\)를 \([-a, 0]\)과 \([0, a]\)로 나누어 부분적분을 적용하면:

\[\int_0^a (a-x)f'(x) \, dx = [(a-x)f(x)]_0^a + \int_0^a f(x) \, dx = F(a) - F(0) - af(0)\]

\[\int_{-a}^0 (a+x)f'(x) \, dx = [(a+x)f(x)]_{-a}^0 - \int_{-a}^0 f(x) \, dx = af(0) - (F(0) - F(-a)) = F(-a) - F(0) + af(0)\]

두 식을 더하면 다음과 같다:

\[\int_{-a}^a (a-|x|)f'(x) \, dx = F(a) + F(-a) - 2F(0) = 0\]

따라서 모든 \(x \ge 0\)에 대해 \(F(x) + F(-x) = 2F(0)\)이 성립한다. 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:

\[F'(x) - F'(-x) = 0 \implies f(x) = f(-x) \quad (\forall x > 0)\]

\(x = 0\)일 때는 자명하게 \(f(0) = f(-0)\)이고, \(x < 0\)일 때도 대칭성에 의해 \(f(x) = f(-x)\)가 성립한다.

그러므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(-x)\)가 성립한다. [증명 완료]

[문제 2] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
2-1	시합 횟수별 경우의 수와 각각의 확률을 체계적으로 분류하였는가?	15점
2-1	기댓값 공식에 대입하여 \(6p^4-12p^3+3p^2+3p+3\)을 정확히 계산하였는가?	15점
2-2	타원의 접선 방정식을 구하고 평행선 사이의 거리 공식을 바르게 수립하였는가?	15점
2-2	\(a^2+b^2=52\)의 불변성을 파악하고 직사각형의 넓이 \(8\sqrt{10}\)을 정확히 도출했는가?	15점
2-3	구간별 부분적분을 적용하여 부정적분에 관한 관계식 \(F(x)+F(-x)=2F(0)\)을 유도했는가?	20점
2-3	양변 미분을 통해 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)=f(-x)\)가 성립함을 엄밀히 증명하였는가?	20점